《先天性》：阅读笔记
《先天性》，节选自阿尔弗雷德·朱尔斯·艾耶尔《语言，真理和逻辑》
收录在《数学哲学》第三编：数学真理
我感觉这篇文章的主要思想还是和我很贴近的。主要在以下方面：
- 经验论的数学哲学：不存在关于现实的先天知识。数学无关乎现实世界，数学命题是分析命题。在现实世界的（“出乎意料的”）有效性是纯粹偶然的。对于更一般的科学来说，所有科学命题都是“大概的假设”。
- 数学是有意义的，但数学命题的意义并非在于其在物理世界的映照，而是在于论证分析命题在我们的世界（一个低智商人群组成的世界）是合理的。“一个具有无限智力的人对逻辑和数学毫无兴趣。”
- 批驳康德主义唯理论：“5+7=12”不是综合命题，是分析命题，错误的根源在于康德使用了非逻辑的论据；几何学是分析的且无关乎人类空间直觉的，因为几何学也不描述物理世界：康德受到了时代的限制。（康德的这个错误常常使得现代数学家忍俊不禁。）
因此我说，数学就其最本质形式而言，毫无疑问是重言式和纯粹分析的命题。但就其根源而言，我们受到我们物理世界和生物本性的限制，我们会选择那些和我们更相关的公理或起点进行演绎，甚至我们的演绎规则也与之相关。但这一点和认识论无关。
在这篇文章的开头，作者还批驳了密尔所言，
“密尔坚持认为逻辑和数学的真理不是必然的或确定的。他坚持说这些命题是依据极多次数的事例所做的归纳概括。”
这个就不详细说了，因为这种主张在当今与主流数学观相悖。我在后面主要说一下数学的意义和对康德数学哲学的批判。
康德，就像大家都知道的那样，主张数学命题是“先天综合判断”，也就是既是先验的，也是非分析的。他对于分析和综合的界限被认为是模糊的，因为康德明显在某些地方混用了心理学和纯逻辑的例子。
“因为如前所见，他认为命题‘7+5=12’是综合命题的理由是‘7+5’的主观内涵不包含‘12’的主观内涵；而他认为‘所有物体都是延伸的’是一个分析命题的理由仅仅是根据矛盾律。”
因此，这种判断的差别性将会使得综合命题产生于一个心理判据之中，而分析命题产生于一个逻辑判据之中。这或许与康德的本意是相悖的，而他并没有意识到这个错误。因此，作者建议将分析和综合的定义改为：
“我想，如果我们说一个命题，当它的有效性完全依靠他所含有的符号定义时是分析的，当它的有效性由经验事实所确定时是综合的，那么……”^1
那么数学命题就其本质而言，一定是分析的了。因为数学定理的真值完全取决于其证明中那些被认为本质上更真的命题和纯粹逻辑形式。或者说，完全取决于其中涉及到的每一词语的定义。因此数学必然是分析的。
但是，如“我是我自己”这种分析命题让人感到无聊一样，我们必须将数学意义确定下来。
“于是我们看到，存在着一种意义，在这一以上，分析命题确实给我们提供新知识。”
有意义的数学命题并非是废话，即便它的确是重言式。其中的依据在于，我们并非像一些逻辑哲学中主张的对逻辑的机械性似乎“无所不知”。我们的智力仍然是有限的，这使得我们无法像对待三段论这样的简单推理过程一样对待数学命题。如果我说，“五次方程不具有代数解”，那么即便我们每个人都知道五次方程和代数解“为”何物，我们仍然不能直观到这句话的真值如何。
但是我们要注意一个问题，即分析的数学是否可以归约为纯粹逻辑。作者认为是不能的，
“一个分析命题的有效性绝不依靠于它能从其他分析命题推出，这一事实使我们有理由漠视数学命题是否能像罗素所设想的那样归约为形式逻辑命题这个问题。”
即每一个分析命题都是独立自足的。理论上来说，分析命题就它自己为真。一个知道什么叫方程的小学生，如果其智力超常，都可以证明“五次方程不具有代数解”。我觉得这点应该与作者的时代和罗素本人的主张有点儿关系，但我现在还不甚清楚。
最后，总结一些金句：
“正像维特根斯坦所说的，我们认为，不能想象世界违反逻辑规律的理由，只不过是我们不能说出一个非逻辑的世界应是什么样的。”
“因为一个选择的好的定义将引起我们对分析真理的主义，否则这种真理会从我们面前溜走。而构造合用的和富有成果的定义很可以被看成一种创造性的活动。”
注释：
^1: 我在写的时候突然意识到这种定义方法和康德的存在一定相似性。我的根据在于，我们如何分辨形式证明和经验证明能力的界限呢？打个比方就是，一个数学规范较差的人会尝试实验来判断一个数学命题的真假，那么我们显然不能因此说该判断是正确的。因此，这个命题其实是说的关于一个命题类的性质。
因此，集合论中的独立命题似乎是一个搅局者。它在某一些模型中对，在某一些模型中错，而且我们对集合论模型具有着确切的定义。最为合适的例子就是ZFC，即，我们只能在经验上说Con(ZFC)具有一定的合理性。或许对于这个问题我还需要深入的思考。