《先天性》:阅读笔记

《先天性》,节选自阿尔弗雷德·朱尔斯·艾耶尔《语言,真理和逻辑》
收录在《数学哲学》第三编:数学真理

我感觉这篇文章的主要思想还是和我很贴近的。主要在以下方面:

  1. 经验论的数学哲学:不存在关于现实的先天知识。数学无关乎现实世界,数学命题是分析命题。在现实世界的(“出乎意料的”)有效性是纯粹偶然的。对于更一般的科学来说,所有科学命题都是“大概的假设”。
  2. 数学是有意义的,但数学命题的意义并非在于其在物理世界的映照,而是在于论证分析命题在我们的世界(一个低智商人群组成的世界)是合理的。“一个具有无限智力的人对逻辑和数学毫无兴趣。”
  3. 批驳康德主义唯理论:“5+7=12”不是综合命题,是分析命题,错误的根源在于康德使用了非逻辑的论据;几何学是分析的且无关乎人类空间直觉的,因为几何学也不描述物理世界:康德受到了时代的限制。(康德的这个错误常常使得现代数学家忍俊不禁。)
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Ralf Schindler - Talk 5 on Logic Summer School of Fudan University, 2020

Content:

  • Finish the last theorem of the last lecture: Force by a stationary set preserving forcing:
    $$(M;\in,I)\xrightarrow[\text{of length } \omega_1]{\text{generic iteration}}(H_{\omega_2}^V;\in,\mathbf{NS}_{\omega_1}^V),$$

    where $M$ is a generically iterable countable transitive structure.

  • $\Bbb P_{\max}$ forcing and analysis of $L(\Bbb R)^{\Bbb P_{\max}}$;

  • $(\ast)$ and: $\mathbf{MM}^{++}\implies(\ast)$.

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杂感

“理论要用来培养未来指挥官的智力,更准确地说,理论应当促使他们自修,而不是跟着他们一起上战场。这好比高明的老师要做的是启发和促进学生发展智力,而不是一辈子牵着他们走路一样。”

克劳塞维茨战争论

评论:这段话应用范围之广使得《战争论》一书的哲学性显露无疑。我现在怀疑这句话是否蕴含了某种认识论的哲学倾向,但还不好说。
我们常说,“理论指导实践”,指导到底指的是什么?那么在这里,理论就是指南针,但却不是藏宝图。理论和人的自身理性天赋必须得到良好结合,真正的思想火花才能迸发出来。理论给我们指明可能的方向,在一片原野上设立路标,但就其本身而言,并不指涉特定的进路。然而,个人精力的(可悲的)有限性往往使得我们一生只能追寻一条特定的进路,而这样的人就被尊称为某理论家。

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Forcing Over CH

Let $\mathbb P = Fn(\omega_2\times\omega,2)$ be the collection of all the finite partial functions from $\omega_2\times \omega$ to $2$. Our strategy is:

  • to firstly find a collection of dense sets $D_{\alpha\beta}$, such that a generic filter $G$ can be build upon;
  • to secondly prove that any generic filter of $\mathbb P$ preserves cardinals.

Lemma. 1 $D_{\alpha\beta}$ are dense sets, where
$$D_{\alpha\beta} = {p\in\mathbb P\mid \exists n\in\omega(\langle\alpha,n\rangle\in dom(p), \langle\beta,n\rangle\in dom(p),p(\alpha,n)\neq p(\beta,n))}.$$

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